關(guān)于拋物線的十個(gè)最值問題

本文用初等方法討論了與拋物線有關(guān)的若干幾何最值問題,得到了十個(gè)有趣的結(jié)論.為方便讀者摘用, 現(xiàn)用定理形式敘述如下:

定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過頂點(diǎn)的焦半徑為最短.

證明:不妨設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為 ρ=                   ,則顯然有ρ≥    ,其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半徑通過拋物線的頂點(diǎn)時(shí).證畢.

定理2.拋物線的過焦點(diǎn)的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.

證明:設(shè)拋物線極坐標(biāo)方程為 ρ=                 ,焦點(diǎn)弦為AB,且設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),則有

         │AB│=ρ1+ρ2 =                 +                             =                       ≥ 2p =通徑長(zhǎng),

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB為通徑時(shí).證畢.

定理3.設(shè)A(a,0)是拋物線 y2=2px(p＞0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn),M(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則

          │MA│m in =                                              

證明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2  = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知結(jié)論成立.證畢.

定理4.設(shè)A(a,b)是拋物線 y2=2px(p＞0)內(nèi)一定點(diǎn),

F是焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則                  

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